STG-MATHINFO-05-Algèbre 3

  • ue-sec-stg-mathinfo-05
  • Plasturgie

Semestre : 3

Responsable(s) du contenu pédagogique
  • Baptiste BILLAUD
  • Jean-Romain HEU
  • Eric SCHENK
Total coefficients : 3
Total heures : 42 (25,5 cours, 16,5 TD)
Total heures travail personnel : 45

Prérequis

Algèbre 1
Analyse 1 et 2


Objectif

Apprentissage de notions de base de la géométrie euclidienne et hilbertienne ;
Applications à des aspects théoriques à des situations concrètes.


Compétences attendues

Axe A1 : CONNAISSANCES ET COMPRÉHENSION
Capacité à mettre en place un raisonnement scientifique rigoureux. Capacité à mobiliser les ressources d'un large champ de sciences fondamentales.
- Connaître et expliquer les concepts théoriques relatifs à un large champ de sciences fondamentales
- Formaliser un problème à l'aide d'outils analytiques ou numériques
- Être capable de résoudre un problème scientifique à l'aide de méthodes analytiques ou numériques


Programme

Diagonalisation des endomorphismes en dimension finie
-- Rappels d'Algèbre linéaire ;
-- Définitions et propriétés élémentaires (léments propres d'un endomorphisme) ;
-- Définition et caractérisation des endomorphismes diagonalisables (exemples) ;
-- Compléments (codiagonalisation et conséquences, (co)trigonalisation).

Introduction à l'algèbre bilinéaire
-- Définitions et propriétés élémentaires, (anti-)symétrie ;
-- Cas de la dimension finie (matrice d'une forme bilinéaire ou sesquilinéaire) ;
-- Notion d'orthogonalité et réduction des formes bilinéaires ou sesquilinéaires (réduction de Gauss, théorème d'inertie de Sylvester) ;
-- Cas des formes bilinéaires ou sesquilinéaires positives.

Espaces préhilbertiens
-- Définitions et exemples archétypaux (en dimension finie ou infinie) ;
-- Orthogonalité et orthonormalité (algorithme de Gram-Schmidt) ;
-- Projection orthogonale (théorème de projection sur un sev ferm.

Endomorphisme adjoint -- Endomorphisme auto-adjoint
-- Définitions et propriétés élémentaires ;
-- Endomorphismes orthogonaux et unitaires ;
-- Cas de la dimension finie (théorème spectral, retour sur la réduction des formes bilinéaires ou sesquilinéaires).

Applications
-- Méthode des moindres carrés ;
-- Séries de Fourier réelles et complexes ;
-- Polynômes orthogonaux.


Contraintes pédagogiques - Moyens spécifiques

Deux séances de CM avant le début des TD


Mode d'évaluation

Deux devoirs surveillés de 1h30 et 2h



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