STG-MATH-02-Analyse 2

• ue-sec-stg-math-02
• Sciences, Techniques & Humanités

Semestre : 2

Responsable(s) du contenu pédagogique

• Baptiste BILLAUD
• Eric SCHENK

Total coefficients : 4

Total heures : 55,5 (36 cours, 19,5 TD)

Total heures travail personnel : 60

Prérequis

Algèbre générale
Analyse 1

Objectif

Apprentissage de notions de base sur la dérivabilité et la théorie de l'intégration ;
Maîtrise les aspects calculatoires relatifs à ces domaines.

Compétences attendues

Axe A1 : CONNAISSANCES ET COMPRÉHENSION
Capacité à mettre en place un raisonnement scientifique rigoureux. Capacité à mobiliser les ressources d'un large champ de sciences fondamentales.
- Connaître et expliquer les concepts théoriques relatifs à un large champ de sciences fondamentales
- Formaliser un problème à l'aide d'outils analytiques ou numériques
- Être capable de résoudre un problème scientifique à l'aide de méthodes analytiques ou numériques

Programme

Suites récurrentes
-- Monotonie et convergence des récurrentes suites.

Dérivabilité des fonctions d'une variable réelle
-- Notion de dérivabilité (ponctuelle, globale) et dérivée ;
-- Dérivanilité et opérations algébriques ;
-- Dérivabilité successive -- Classe d'une fonction
-- Théorème de Rolle -- Théorème des accroissements finis
-- Applications (étude de fonctions, convexité, difféomorphisme, formule de Taylor-Lagrange).

Fonctions hyperboliques -- Fonctions hyperboliques réciproques
-- Définitions et propriétés élémentaires -- Étude détaillée ;
-- Dérivées et expressions logarithmiques des fonctions hyperboliques réciproques.

Calcul intégral
-- Fonctions continues par morceaux (définition et propriétés élémentaires) ;
-- Définition formelle de l'intégrale d'une fonction réelle continue par morceaux et propriétés algébriques (Relation de Chasles, linéarité) ;
-- Primitive d'une fonction réelle sur un intervalle -- Théorème fondamental de l'Analyse ;
-- Applications au calcul intégrale (changement de variable, IPP, règles de Bioches, Formule de Taylor avec intégral reste).

Équations différentielles
-- Présentation des enjeux (définitions, théorème de Cauchy-Lispchitz, interprétation graphique) ;
-- Application à la résolution des équations différentielles du premier ordre en variables séparées ;
-- Théorie des équations différentielles linéaires du premier ordre.

Construction de l'intégrale
-- Intégration des fonctions en escalier ;
-- Approximation des fonctions continues par morceaux sur un segment ;
-- Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment.

Contraintes pédagogiques - Méthodes pédagogiques

Suites récurrentes
-- Monotonie et convergence des récurrentes suites.

Dérivabilité des fonctions d'une variable réelle
-- Notion de dérivabilité (ponctuelle, globale) et dérivée ;
-- Dérivanilité et opérations algébriques ;
-- Dérivabilité successive -- Classe d'une fonction
-- Théorème de Rolle -- Théorème des accroissements finis
-- Applications (étude de fonctions, convexité, difféomorphisme, formule de Taylor-Lagrange).

Fonctions hyperboliques -- Fonctions hyperboliques réciproques
-- Définitions et propriétés élémentaires -- Étude détaillée ;
-- Dérivées et expressions logarithmiques des fonctions hyperboliques réciproques.

Calcul intégral
-- Fonctions continues par morceaux (définition et propriétés élémentaires) ;
-- Définition formelle de l'intégrale d'une fonction réelle continue par morceaux et propriétés algébriques (Relation de Chasles, linéarité) ;
-- Primitive d'une fonction réelle sur un intervalle -- Théorème fondamental de l'Analyse ;
-- Applications au calcul intégrale (changement de variable, IPP, règles de Bioches, Formule de Taylor avec intégral reste).

Équations différentielles
-- Présentation des enjeux (définitions, théorème de Cauchy-Lispchitz, interprétation graphique) ;
-- Application à la résolution des équations différentielles du premier ordre en variables séparées ;
-- Théorie des équations différentielles linéaires du premier ordre.

Construction de l'intégrale
-- Intégration des fonctions en escalier ;
-- Approximation des fonctions continues par morceaux sur un segment ;
-- Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment.

Contraintes pédagogiques - Moyens spécifiques

Deux séances de CM avant le début des TD

Mode d'évaluation

Trois devoirs surveillés de 1h30 ou de 2h