STG-MATH-01-Analyse 1

  • ue-sec-stg-math-01
  • Sciences, Techniques & Humanités

Semestre : 1

Responsable(s) du contenu pédagogique
  • Matthew PADDICK
  • Eric SCHENK
Total coefficients : 4
Total heures : 54 (36 cours, 18 TD)
Total heures travail personnel : 58

Prérequis

On se reposera sur les propriétés de calcul sur les fonctions usuelles vues en lycée.


Objectif

Les cours d'analyse de première année jettent les bases de l'analyse des suites réelles et fonctions réelles à une variable réelle. La notion centrale en Analyse 1 est celle de limite: on énoncera la définition de limite d'une suite ou d'une fonction, et on démontrera les propriétés associées, appliquant régulièrement diverses techniques de démonstration vues dans le cadre du cours d'Algèbre.
La notion de limite est centrale en analyse; sa maîtrise est essentielle pour comprendre les notions des modules qui suivront, dans lesquels les concepts centraux pour la physique et les sciences de l'ingénieur (dérivée, intégrale, équations différentielles) seront étudiés en détail.


Programme

I. Manipulation des nombres réels.
-Identités remarquables (somme géométrique, formule du binôme)
-Valeur absolue, inégalités fondamentales (inégalité triangulaire, Cauchy-Schwarz)
-Sous-ensembles bornés de R, borne inférieure et supérieure
-Sous-ensembles denses de R

II. Suites numériques réelles
-Suites bornées, monotones, convergentes, divergentes
-Propriétés des limites vis-à-vis des inégalités et opérations
-Théorème de convergence monotone, applications
-Suites extraites et convergence, applications

III. Fonctions réelles d'une variable réelle
-Domaine de définition et propriétés basiques d'une fonction
-Limites: définition, caractérisation séquentielle, propriétés
-Continuit définition, propriétés des fonctions continues
-Fonctions continues bijectives, bijection réciproque, le cas des fonctions trigonométriques


Contraintes pédagogiques - Méthodes pédagogiques

I. Manipulation des nombres réels.
-Identités remarquables (somme géométrique, formule du binôme)
-Valeur absolue, inégalités fondamentales (inégalité triangulaire, Cauchy-Schwarz)
-Sous-ensembles bornés de R, borne inférieure et supérieure
-Sous-ensembles denses de R

II. Suites numériques réelles
-Suites bornées, monotones, convergentes, divergentes
-Propriétés des limites vis-à-vis des inégalités et opérations
-Théorème de convergence monotone, applications
-Suites extraites et convergence, applications

III. Fonctions réelles d'une variable réelle
-Domaine de définition et propriétés basiques d'une fonction
-Limites: définition, caractérisation séquentielle, propriétés
-Continuit définition, propriétés des fonctions continues
-Fonctions continues bijectives, bijection réciproque, le cas des fonctions trigonométriques


Mode d'évaluation

2 contrôles intermédiaires, 1 contrôle final


Bibliographie

Analyse 1ère année, disponible gratuitement sur le site Exo7
Site BibMath pour des exercices complémentaires
Ouvrages de 1ère année prépa PCSI-BCPST ou 1ère année de Licence



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