STG-MATHINFO-05-Algèbre 3
- ue-sec-stg-mathinfo-05
- Génie Mécanique
Semestre : 3
Responsable(s) du contenu pédagogique
- Baptiste BILLAUD
- Jean-Romain HEU
- Eric SCHENK
| Total coefficients : 3 |
| Total heures : 42 (25,5 cours, 16,5 TD) |
| Total heures travail personnel : 45 |
Prérequis
Algèbre 1
Analyse 1 et 2
Objectif
Apprentissage de notions de base de la géométrie euclidienne et hilbertienne ;
Applications à des aspects théoriques à des situations concrètes.
Programme
Diagonalisation des endomorphismes en dimension finie
-- Rappels d'Algèbre linéaire ;
-- Définitions et propriétés élémentaires (léments propres d'un endomorphisme) ;
-- Définition et caractérisation des endomorphismes diagonalisables (exemples) ;
-- Compléments (codiagonalisation et conséquences, (co)trigonalisation).
Introduction à l'algèbre bilinéaire
-- Définitions et propriétés élémentaires, (anti-)symétrie ;
-- Cas de la dimension finie (matrice d'une forme bilinéaire ou sesquilinéaire) ;
-- Notion d'orthogonalité et réduction des formes bilinéaires ou sesquilinéaires (réduction de Gauss, théorème d'inertie de Sylvester) ;
-- Cas des formes bilinéaires ou sesquilinéaires positives.
Espaces préhilbertiens
-- Définitions et exemples archétypaux (en dimension finie ou infinie) ;
-- Orthogonalité et orthonormalité (algorithme de Gram-Schmidt) ;
-- Projection orthogonale (théorème de projection sur un sev ferm.
Endomorphisme adjoint -- Endomorphisme auto-adjoint
-- Définitions et propriétés élémentaires ;
-- Endomorphismes orthogonaux et unitaires ;
-- Cas de la dimension finie (théorème spectral, retour sur la réduction des formes bilinéaires ou sesquilinéaires).
Applications
-- Méthode des moindres carrés ;
-- Séries de Fourier réelles et complexes ;
-- Polynômes orthogonaux.
Contraintes pédagogiques - Méthodes pédagogiques
Diagonalisation des endomorphismes en dimension finie
-- Rappels d'Algèbre linéaire ;
-- Définitions et propriétés élémentaires (léments propres d'un endomorphisme) ;
-- Définition et caractérisation des endomorphismes diagonalisables (exemples) ;
-- Compléments (codiagonalisation et conséquences, (co)trigonalisation).
Introduction à l'algèbre bilinéaire
-- Définitions et propriétés élémentaires, (anti-)symétrie ;
-- Cas de la dimension finie (matrice d'une forme bilinéaire ou sesquilinéaire) ;
-- Notion d'orthogonalité et réduction des formes bilinéaires ou sesquilinéaires (réduction de Gauss, théorème d'inertie de Sylvester) ;
-- Cas des formes bilinéaires ou sesquilinéaires positives.
Espaces préhilbertiens
-- Définitions et exemples archétypaux (en dimension finie ou infinie) ;
-- Orthogonalité et orthonormalité (algorithme de Gram-Schmidt) ;
-- Projection orthogonale (théorème de projection sur un sev ferm.
Endomorphisme adjoint -- Endomorphisme auto-adjoint
-- Définitions et propriétés élémentaires ;
-- Endomorphismes orthogonaux et unitaires ;
-- Cas de la dimension finie (théorème spectral, retour sur la réduction des formes bilinéaires ou sesquilinéaires).
Applications
-- Méthode des moindres carrés ;
-- Séries de Fourier réelles et complexes ;
-- Polynômes orthogonaux.
Contraintes pédagogiques - Moyens spécifiques
Deux séances de CM avant le début des TD
Mode d'évaluation
Deux devoirs surveillés de 1h30 et 2h