STG-GC-01-Analyse 5
- ue-sec-stg-topo-01
- Topographie
Semestre : 5
Responsable(s) du contenu pédagogique
- Baptiste BILLAUD
- Jean-Romain HEU
| Total coefficients : 2 |
| Total heures : 28,5 (13,5 cours, 12 TD, 3 projet) |
| Total heures travail personnel : 45 |
Prérequis
Algèbre générale et linéaire
Analyse 1 à 4
Géométrie euclidienne et hilbertienne
Objectif
Apprentissage de notions de base sur les espaces vectoriels normés (EVN) en vue de l'application au calcul différentiel ;
Applications à des aspects théoriques à des situations concrètes ;
Présentations d'éléments de synthèse sur les notions rencontrées en Algèbre et en Analyse au cours des années précédentes.
Programme
Notions et exemples de base
-- Définitions et propriétés élémentaires ;
-- Exemples archétypaux (en dimension finie ou infinie) ;
-- Équivalence des normes (définition, cas de la dmension finie) ;
-- Suites à valeurs dans un EVN (définitions, propriétés élémentaires, analogie avec les suites numériques ou de fonctions).
Introduction à la topologie métrique
-- Ouvert, fermé, intérieur, adhérence, densité (définitions, proprétés élémentaires, cas de la dimension finie) ;
-- Compacité (définitions, proprétés élémentaires, cas de la dimension finie) ;
-- Topologie sur un espace produit (analogie avec la dimension finie).
Continuité sur les EVN
-- Définitions et propriétés élémentaires (caractérisation séquentielle, opérations algébriques, cas de la dimension finie, caractérisation par les ouverts ou les fermés) ;
-- Continuité et compacité (fonction continue sur un compact, norme l'EVN des fonctions continues sur un compact) ;
-- Applications linéaires continues (définitions, caractérisations, norme subordonnée, cas de la dimension finie) ;
-- Continuité et topologie produit (applications multilinéaires continues, caractérisations, norme subordonnée, cas de la dimension finie).
Espaces de Banach -- Espaces de Hilbert
-- Complétude (définitions et propriétés élémentaires, cas de la dimension finie) ;
-- Exemples archétypaux (en dimension finie ou infinie) ;
-- Séries dans un espace de Banach (définitions et propriétés élémentaires, caractérisation des espaces de Banach) ;
-- Complétude de l'EVN des applications linéaires continues (ensemble des inveribles, exponentiel d'un endomorphisme) ;
-- Complétude et topologie produit.
Introduction au calcul différentiel
-- Différentiabilité (définitions et propriétés élémentaires, exemples de base, notion de différentiabilité successive, linéarité) ;
-- Exemples avancés (application inverse) ;
-- Différentiabilité et composition, différentiabilité et topologie produit ;
-- Différentiabilité en dimension finie (dérivées partielles, matrice jacobienne).
Applications
-- Inégalités des accroissements finies, formules de Taylor (en dimension finie) ;
-- Théorèmes du point fixe (retour sur la théorie des équations différentielles sur premier ordre, théorème de Cauchy-Lipschitz) ;
-- Étude d'extrema d'une fonction à valeurs réelles (cas de la dimension finie).
Contraintes pédagogiques - Méthodes pédagogiques
Notions et exemples de base
-- Définitions et propriétés élémentaires ;
-- Exemples archétypaux (en dimension finie ou infinie) ;
-- Équivalence des normes (définition, cas de la dmension finie) ;
-- Suites à valeurs dans un EVN (définitions, propriétés élémentaires, analogie avec les suites numériques ou de fonctions).
Introduction à la topologie métrique
-- Ouvert, fermé, intérieur, adhérence, densité (définitions, proprétés élémentaires, cas de la dimension finie) ;
-- Compacité (définitions, proprétés élémentaires, cas de la dimension finie) ;
-- Topologie sur un espace produit (analogie avec la dimension finie).
Continuité sur les EVN
-- Définitions et propriétés élémentaires (caractérisation séquentielle, opérations algébriques, cas de la dimension finie, caractérisation par les ouverts ou les fermés) ;
-- Continuité et compacité (fonction continue sur un compact, norme l'EVN des fonctions continues sur un compact) ;
-- Applications linéaires continues (définitions, caractérisations, norme subordonnée, cas de la dimension finie) ;
-- Continuité et topologie produit (applications multilinéaires continues, caractérisations, norme subordonnée, cas de la dimension finie).
Espaces de Banach -- Espaces de Hilbert
-- Complétude (définitions et propriétés élémentaires, cas de la dimension finie) ;
-- Exemples archétypaux (en dimension finie ou infinie) ;
-- Séries dans un espace de Banach (définitions et propriétés élémentaires, caractérisation des espaces de Banach) ;
-- Complétude de l'EVN des applications linéaires continues (ensemble des inveribles, exponentiel d'un endomorphisme) ;
-- Complétude et topologie produit.
Introduction au calcul différentiel
-- Différentiabilité (définitions et propriétés élémentaires, exemples de base, notion de différentiabilité successive, linéarité) ;
-- Exemples avancés (application inverse) ;
-- Différentiabilité et composition, différentiabilité et topologie produit ;
-- Différentiabilité en dimension finie (dérivées partielles, matrice jacobienne).
Applications
-- Inégalités des accroissements finies, formules de Taylor (en dimension finie) ;
-- Théorèmes du point fixe (retour sur la théorie des équations différentielles sur premier ordre, théorème de Cauchy-Lipschitz) ;
-- Étude d'extrema d'une fonction à valeurs réelles (cas de la dimension finie).
Contraintes pédagogiques - Moyens spécifiques
Deux séances de CM avant le début des TD
Mode d'évaluation
Deux devoirs surveillés de 1h30 et 2h
Projet Maple